Centro de Educaçao Matemática - CEM
O título desta comunicação, foi propositalmente inspirado em duas obras de arte: um filme de Orson Welles e um livro de Umberto Eco. De comum com este artigo existe a idéia de colocar em xeque o conceito de verdade ou falsidade tomados de maneira absoluta. É dentro desta ótica que pretendemos situar nossa "Exploração Didática dos Erros".
Os "erros" tais como são popularmente considerados, serão assumidos daqui por diante como "Verdades Provisórias". Porém o conceito de Verdade Provisória ser tomado de forma mais abrangente, incluindo as chamadas "verdades estabelecidas" como axiomas, proposições, lemas e teoremas, o de Pitágoras por exemplo.
Certamente um matemático do tipo ortodoxo dever considerar herético este ponto de vista. Não é! O procedimento filosófico-pedagógico no qual se baseia este artigo aborda a Educação pela Matemática e não para a Matemática. E tem como objetivos centrais, entre outros: DESMISTIFICAR A MATEMÁTICA e DESENVOLVER NO ALUNO UMA CERTA AUTONOMIA EM RELAÇÃO A CONSTRUÇÃO DE SEU CONHECIMENTO.
Desmistificar a Matemática não é tarefa simples, há muitos e espinhosos caminhos. Em nossa experiência desenvolvida com alunos de 10 a 15 anos desde 1981, nos convencemos que os alunos desmistificam uma ciência quando a produzem. (Lopes, A.J.-1987).
No que se refere ... autonomia em relação ... construção do conhecimento ‚ importante destacar que esta não nasce do dia para a noite ou por decreto do professor, mesmo que bem intencionado. É necessário que se crie um "ambiente" de livre pensar, indagar, explorar, duvidar, acreditar, criar e construir. Algo parecido com o que Rafaela Borasi chamou de "cenário compatível" em sua conferência neste 39o CIEAEM. Este ambiente é construído por todos os envolvidos no processo de produzir-conhecer: alunos, professores e comunidade.
O que caracteriza o ambiente de verdades provisórias ?
O ambiente de verdades provisórias não existe a priori, há que construi-lo. Pistas sobre as características deste ambiente são descritas em seguida, destacamos algumas estratégias de trabalho vivenciadas nos últimos 5 anos. As consideramos propostas concretas de exploração didática dos erros, ainda que algumas das atividades listadas não explicitem este objetivo.
| 1) | Uso livre e coletivo do mimeógrafo em sala de aula; |
| 2) | Reprodução das soluções dos problemas e exercícios apresentados pelos alunos. Estas soluções são discutidas por todos, gerando da discussão a validação ou não dos métodos usados bem como da linguagem adotada. As soluções dos alunos tendem a gerar novos problemas; |
| 3) | Estímulo ... sistematização do processo de solução, tanto a nível individual como coletivo. Nas atividades em grupo adota-se a figura do relator, que é exercida em rodízio pelos seus integrantes; |
| Os itens 1, 2 e 3 tem o papel de exercitar os alunos na prática da crítica, no pensar do ponto de vista do outro, na convivência com a diversidade. O erro num contexto como esse é mais um objeto a ser explorado. |
| 4) | Quanto ao conteúdo das atividades propostas ao grupo de alunos, são exploradas: |
| a. | Atividades do tipo "O que pensou Antonio?". São fragmentos da solução de um problema qualquer. Estimulamos os alunos a tentar explicar um raciocínio, mesmo que "incorreto", de um ponto de vista exterior; |
| b. | Atividades que exploram conjecturas, paradoxos e sofismas. Estimulam a reconhecer limites nos modelos matemáticos adotados e contribuem para articular as etapas de um raciocino; |
| c. | Atividades do tipo "Continue a solução de José‚.". Na mesma linha de 4)a., é dado um enunciado e uma solução incompleta; |
| d. | Problemas com enunciados ambíguos ou redundantes, com excesso ou falta de dados. Estimulam a identificar o que é essencial numa dada situação problema; |
| e. | Exercícios do tipo "decida se existe alguma etapa incorreta, inútil ou ambígua" Idem comentário de 4)d. |
| f. | Problemas pendurados. Depois de esgotados os recursos disponíveis pelo grupo de alunos, deixamos a situação problema pendente, para ser retomada em outro momento, que pode ser o minuto seguinte ou o próximo ano, dependendo da evolução do grupo. (Lopes, A.J.,1985) |
| g. | Formulação de problemas, desafios, conjectura, etc., pelos alunos; |
| h. | Construção de linguagem. É comum no repertório de estratégias utilizadas pelos alunos, que estes inventem códigos, esquemas, legendas, notações ou outro tipo de simbologia nem sempre convencional. Da socialização destas, o grupo, em geral, decide por uma convenção local, depois de analisadas as vantagens e desvantagens de cada uma. Em nossas investigações observamos que os erros induzidos pela linguagem formal, natural, simbólica, gráfica, etc., devem-se principalmente pela falta de experiência dos alunos em explorar ou construir outras linguagens que não as arbitrariamente impostas a eles através de programas oficiais e livros didáticos . |
| i. | Generalização da hipótese supostamente errada. Embora não tenhamos a pretensão neste pequeno resumo de detalhar todas as características do nosso "ambiente de verdades provisórias", é oportuno observar alguns resultados obtidos em sala de aula frente aos chamados "erros clássicos". Selecionamos duas situações, aqui identificadas por S1 e S2. |
|  |  | S1: (alunos de 10/11 anos)
Fragmento do caderno de Pedro....
É solicitado ao grupo que discuta o resultado de Pedro.
Joana afirma que lhe parece certo pois "é uma regra" que funciona mesmo trocando a ordem:
O grupo aceita, inicialmente, a regra de Pedro. É perguntado "como funciona a regra". . .Respondem numa linguagem retórica:
"Somamos os numeradores e dividimos pela soma dos denominadores"
Onde, (b, d N*)
Aceitamos a regra de Pedro como um modelo e exploramos algumas situações, como a razão entre "gols" e jogos num campeonato. Aqui a regra funciona bem.
Entre as várias situações propostas para explorar o modelo aceito pelo grupo esta a soma de duas metades..... No dia seguinte João rejeita a Regra do Pedro argumentando que 1/2 + 1/2 deveria ser 1 e não 2/4. Ante esta situação de conflito entre "regra" e senso de estimativa, o grupo dedica-se então ... tarefa de encontrar um regra onde 1/2 + 1/2 = 1.
Neste caso o suposto "erro" foi assumido como modelo local, o grupo abandona o modelo a partir da problematização e do conflito frente a situações de contextos variados.
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| | | S2: (Alunos de 12/13 anos)
Foi observado em anos anteriores que os alunos cometiam freqüentemente "erros" em situações que envolviam o cálculo de potências com expoente negativo. Procuramos fazer uma leitura "Raio-X" das estruturas em que os alunos se baseavam para fazer seus cálculos.
Segue a transcrição de uma situação de sala de aula.
Aluno: Que significa 2-3, que eu vi num livro ?
O professor coleta junto ao grupo o que pensam a respeito da pergunta do colega....
Eis algumas das proposições dos alunos (Ai: aluno i).
Partimos do princípio de que cada proposição foi formulada conscientemente por cada aluno proponente. Não se tratavam de erros caóticos. Ante a diversidade de soluções o grupo é motivado e solicitado a investigar cada solução como se fosse correta.
Professor: Quem pensou -8, como resolveria 3-2 ?
A2: -9
Observamos que o aluno A 2 tem uma idéia da estrutura em que o aluno A1 se apoiou.
Professor: Como A4 resolveria 3-2 ?
Silêncio ...
A5: -5
É solicitado aos alunos que tentem expressar o caso geral de cada proposição.
H1 : a-n = -an
H2 : a-n = an
H3 : a-n = a . n (Hi: hipótese do aluno Ai)
H4 : a-n = a - n
H5 : a-n = ?
O grupo não consegue decifrar como pensou o aluno A 5 A5: (explicando..)
"Se an, com n > 0 ‚ (a.a.a. ... .a), n vezes, então quando o expoente ‚ negativo vai ser (a:a:a: ... :a), n "as". Neste caso com as divisões sucessivas
| a-n | = | 1 |
| |
| | an-2 |
Da discussão de cada caso o grupo acaba por rejeitar as hipóteses de A3 e A4, por considerá-las conflitantes com operações já conhecidas.
Investigam, em seguida , se a-n = -an mantém propriedades já conhecidas e aceitas, como P1: an . am = an+m, verificando casos particulares.
I : 2-3. 2-2 = 2-5 ( por P1 )
II : 2-5 = -25 = -32 ( por H1 )
III : 2-3 .2-2 = (-8).(-4) = 32 ( por H1 )
De II e III temos que 32 = -32. Conflito que leva os alunos a abandonarem a hipótese H1 e seguir na investigação.
Tanto em S1 como em S2 os "erros" não foram destacados como erros e sim como modelos que se encaixam ou não a uma dada situação e suas condições ou a um certo corpo de conhecimentos provisoriamente aceitos. A estratégia para cada situação é determinada pelo contexto em que o "erro" emerge, este se constitui em matéria prima do processo de ensino-aprendizagem. Neste processo o aluno ‚ co-participante da análise de seu pensamento. Dentro desta ótica não nos parece adequado, simplesmente, remediar ou evitar a emergência dos erros.
A fim de socializar e multiplicar experiências deste tipo, foram desenvolvidas Oficinas de Trabalho com professores da rede pública, onde os materiais utilizados eram análogos aos explorados com os alunos. A reflexão sobre as idéias e vivências descritas neste artigo não poderá se dar simplesmente pela sua leitura, a releitura destes princípios deve ser feita a partir de vivências. Nos contrapomos a qualquer tipo de "receituário" que torne mercadoria a metodologia aqui adotada.
http://www.matematicahoje.com.br/telas/autor/artigos/artigos_publicados.asp?aux=Erros |
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